miércoles, 20 de mayo de 2015
Los números enteros
Hoy en día nos es
muy familiar el concepto de número, éste fue elaborado muy
lentamente a través de los tiempos. Habían casos en los que solo
existía un nombre para cantidades
menores que tres, a las demás cantidades le decían muchos o incontables.
El concepto de
número surgió de la necesidad práctica
de contar objetos. Inicialmente se
contaba con la ayuda de dedos, de
piedras, entre otras. A la par con la ampliación de los números se desarrolló
una simbología propia de cada conjunto
numérico y de cada civilización. Cada una de las antiguas
civilizaciones aportó a la construcción de
los números que hoy utilizamos.
Para el
ser humano es importante contar lo que tiene, lo que quiere, lo que necesita,
lo que comparte, lo que da. Esa fue la razón
que tuvo para crear números y formó
el conjunto de los números naturales:
IN= {1, 2, 3, 4 , ... }
Luego,
necesitó expresar con cifras el conjunto
vacío, es decir, identificar que no había nada, no quedaba nada o no
faltaba nada. Entonces, apareció el 0, y formó así otro conjunto numérico, el
de los números cardinales:
IN0= {0, 1, 2, 3, 4 , ... }
Contando
con estos conjuntos numéricos, resolvió operaciones: agregó, quitó, dividió,
multiplicó. Sin embargo, se le presentaron otros problemas:
Para
responder a estas interrogantes, nuevamente recurrió a su inteligencia y formó
otro conjunto numérico, en el que podrían expresarse cantidades menores que 0.
Este conjunto numérico lo llamó conjunto de los números enteros
y que se identifica con el símbolo anterior.
Para definir el
conjunto numérico de los números enteros analizaremos el
siguiente ejemplo:
Dos autos parten
de la misma ciudad, pero en direcciones opuestas. Sí ambos recorren 100 Km, ¿Cuál
será la distancia que los separará?
Supongamos que la
ciudad de donde parten los dos vehículos
es el punto O de la recta numérica, por lo tanto es
necesario extender la recta hacia ambos
lados del punto O, para establecer la ubicación de los dos vehículos.
Al extender la
recta hacia la izquierda del punto O, se establece un nuevo conjunto NUMÉRICO. Sí al punto O
lo consideramos como un ¨ espejo
¨, cada número natural del lado derecho del punto O tiene una IMAGEN en el lado izquierdo a la que se le
conoce como opuesto o simétrico. El conjunto numérico
de los enteros se simboliza por la letra Z y se define como el conjunto formado por los números
naturales y todos los negativos, es decir:
La unión del conjunto de los números naturales (enteros positivos) y los enteros negativos, forma el conjunto numérico de los ENTEROS:
En la recta numérica todos los enteros están ordenados, se ubican en un lugar específico de
tal manera que los que están a la
derecha del punto O tienen mayor valor mientras más lejos se encuentren de
él. Los números que
se encuentran a la izquierda del punto O, son mayores mientras se encuentren
más cerca de él y menores cuando se encuentren más
lejos de él, es decir:
El
valor absoluto de un número entero es simplemente su número natural. Se representa por dos líneas verticales, es
decir:
Cuando se
suman dos números enteros, puede ocurrir que:
· Que ambos números sean positivos, en este caso sumamos normalmente,
es decir:
· Que ambos números enteros sean negativos, en este caso sumamos su valor absoluto y al
resultado se le coloca el signo menos, es decir:
· Que los números enteros sean de signos
contrarios, en este caso se saca el valor
absoluto de los enteros y al natural
mayor se le saca el menor, al
resultado se le coloca el signo del
número mayor, es decir:
martes, 19 de mayo de 2015
Propiedades de la suma
En la suma de números enteros se aplican las propiedades:
Clausurativa,
conmutativa, modulativa, asociativa, inverso aditivo y ley uniforme.
Ley clausurativa
Al
sumar dos números enteros, siempre se obtiene otro número entero, es decir:
Ley conmutativa
Al
sumar dos números enteros, podemos cambiar el orden de los sumandos y el
resultado siempre es el mismo, es decir:
Ley modulativa
Al
sumar un número entero con el elemento neutro o módulo se obtiene el mismo
número entero, es decir:
Ley asociativa
Al
sumar más de dos números enteros, los podemos agrupar de diferentes formas y el
resultado que se obtiene siempre es el mismo número entero, es decir:
Ley invertida o inverso
aditivo
Al
sumar un número entero con su inverso aditivo (opuesto) se
obtiene como resultado el elemento neutro
o módulo, es decir:
Ley uniforme
Si a
ambos lados de una igualdad, se le
suma o se le resta el mismo número
entero, se obtiene otra igualdad.
Multiplicación y división
de números enteros
En la multiplicación y división de
números enteros se aplica la ley de los signos.
Al multiplicar
signos de la misma naturaleza,
siempre se obtiene un número positivo.
Al multiplicar signos de naturaleza
diferente, se obtiene un número
negativo, es decir:
Al dividir signos
de la misma naturaleza, siempre se
obtiene un número positivo. Al
dividir signos de naturaleza diferente, se obtiene un número negativo, es decir:
lunes, 18 de mayo de 2015
Propiedades de la multiplicación
En la multiplicación de números enteros se aplican las mismas
propiedades de la suma, incluyendo la
ley distributiva.
Ley clausurativa
Al
multiplicar dos números enteros, siempre
se obtiene otro número entero, es decir:
Ley conmutativa
Al
multiplicar dos números enteros, podemos cambiar el orden de los factores y el resultado siempre es el mismo, es decir:
Ley modulativa
Al
multiplicar un número entero con el
elemento neutro o módulo se obtiene el mismo número entero, es decir:
Ley asociativa
Al
multiplicar más de dos números enteros,
los podemos agrupar de diferentes formas y el resultado que se obtiene siempre
es el mismo número entero, es decir:
Ley uniforme
Si
a ambos lados de una igualdad, se le
multiplica el mismo número entero,
se obtiene otra igualdad, es decir:
Ley distributiva
La
multiplicación es distributiva respecto
a la suma y la resta de números enteros,
es decir:
Veamos un video de enteros
Los signos de agrupación se utilizan
para reunir o agrupar cantidades y
facilitar el cálculo matemático. Entre los principales signos de agrupación
tenemos:
Ecuaciones y problemas en los enteros
Ecuaciones
en los enteros
Hay ecuaciones en las que aparecen, además de sumas y de
restas, multiplicaciones y divisiones
acompañando la variable. Si en una ecuación tenemos una cantidad que multiplica la variable y la
cambiamos de lado, entonces la cantidad pasa al otro lado de la ecuación a dividir, es decir:
Si en una ecuación tenemos una cantidad que divide la variable y la
cambiamos de lado, entonces la cantidad pasa al otro lado de la ecuación a multiplicar, es decir:
Para resolver ecuaciones en los enteros se hace un procedimiento, aplicando una serie de pasos:
1) Se despeja la variable, es decir que se busca dejarla sola
2) Se aplican las propiedades de la suma (resta), multiplicación (división) de los enteros.
3) Sí un entero está sumando, pasa al otro lado de la igualdad a restar o viceversa.
4) Sí un entero está multiplicando, pasa al otro lado de la igualdad a dividir o viceversa.
5) Se hace la prueba para verificar que se cumple una igualdad
Ejemplo
1) 3 X
+ 21 = 54 Ecuación dada
3X
+ 21 - 21
= 54 - 21 Ley
uniforme suma
3X +
0 = 33 Clausurativa
y asociativa
3X = 33 Modulativa
1 (X) =
11 Invertida y clausurativa
X =
11 Modulativa multiplicación
Prueba: Si X = 11
3X
+ 21
= 54
3(11) + 21 =
54
33 + 21
= 54
54 = 54
Existe otra propiedad que se aplica a la, multiplicación
o división de enteros para hallar el módulo.
Esta propiedad se llamará inverso multiplicativo, o ley invertida.
2) Aplique las propiedades básicas
Cuando se despeja una ecuación, las variables o incógnitas se llevan a un mismo lado de la igualdad,
luego se suman los términos semejantes;
lo mismo sucede con los términos independientes o cantidades numéricas.
Las ecuaciones en los enteros son de gran utilidad
porque nos ayudarán a resolver problemas
de aplicación.
Problemas de aplicación
Para
resolver problemas en los enteros, primero se
debe identificar la cantidad
desconocida y luego formar una ecuación.
Ejemplo
1) La suma de dos números enteros
consecutivos es igual a 21. ¿Cuáles son esos números?
Sea
Y el primer entero
Sea Y + 1 el segundo entero
Y
+ (Y +1) = 21 Ecuación
formada
Y
+ Y + 1 = 21 Ley
de
signos
2Y
+ 1 =
21 Clausurativa
2Y = 21
- 1 Uniforme
2Y = 20 Clausurativa
Y = 10 Uniforme
Prueba: Si Y = 10
10 + (10+1) = 21 Rta:
Los números consecutivos son
10 + 11 = 21 10 y 11
21 =
21
2)
Pedro mide 4 centímetros menos que Luis
y Marcela mide 2 centímetros más
que Luis, ¿Cuántos centímetros
miden Pedro, Marcela y Luis, sí
al sumar sus estaturas se obtienen 223 centímetros?
Sea
X la estatura de Luis
Sea X – 4 la estatura de Pedro
Sea X + 2 la estatura de Marcela
X
+ (X - 4) + ( X +2 ) =
223 Ecuación formada
X + X -
4 + X + 2 = 223 Ley uniforme
3X
- 2 = 223 Asociativa y clausurativa
3X = 223+2 Clausurativa
3X =
225 Clausurativa
X = 75 Uniforme
Prueba: Si X = 75
75 + ( 75 - 4) + (75+2) = 223
Rta: La estatura de Luis es de
225 – 2 = 223 75 Cm, Pedro mide 71 Cm.
223 = 223 y Marcela mide 77 Cm.
Aprovechando todas las herramientas que nos traen las TIC, y los recursos didácticos en el proceso ENSEÑANZA APRENDIZAJE de la matemática, en las siguientes direcciones electrónicas podemos encontrar lecturas complementarias
y una serie de animaciones que nos ayudarán a una mejor
comprensión de todo lo relacionando con los números enteros Z y su aplicación
en la naturaleza.
Lógica y conjuntos
Los números naturales
Potencias, radicales y logaritmos en los naturales
Sistemas de numeración
Los números enteros
Teoría de números
Los números fraccionarios
Sistemas geométricos
Estadística
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